反常积分及其计算

1. 定义

1.1. 无穷区间上的反常积分

设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，称 $\int _a^{+\infty} f(x)dx=\lim \limits_{b \to +\infty} \int_a^bf(x)dx$ 为 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上的反常积分。若右边极限存在，则称反常积分收敛；否则反常积分发散。

设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则反常积分定义为 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{+\infty}f(x)dx$

1.2. 无界函数的反常积分

设 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续，且 $\lim \limits_{x \to b^-}f(x)=\infty$ ，称 $\int _a^b f(x)dx=\lim \limits_{\beta \to b^-} \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上的反常积分（瑕积分），点 $b$ 称为 $f(x)$ 的奇点（瑕点）。

若点 $a$ 也是奇点，则 $\int_a^bf(x)dx=\int_a^{x_0}f(x)dx+\int_{x_0}^bf(x)dx,a<x_0<b$ ，若右边两个反常积分有一个发散，则左边反常积分发散。

若开区间 $(a,b)$ 内部点 $c$ 为奇点，则反常积分定义为 $\int_a^bf(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^bf(x)dx,a<x_0<b$

2. 对称区间上奇偶函数的反常积分

设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且为奇函数，若 $\int_0^{+\infty}f(x)dx$ 收敛，则 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0$

设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且为偶函数，若 $\int_0^{+\infty}f(x)dx$ 收敛，则 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\int_0^{+\infty}f(x)dx$

设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上除 $x=\pm c$ 外均连续， $x=\pm c$ 为 $f(x)$ 的奇点，$0 \leq c \leq a$ ，又设 $f(x)$ 为奇函数，若 $\int_0 af(x)dx$ 收敛，则 $\int_{-a}^af(x)dx=0$

设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上除 $x=\pm c$ 外均连续， $x=\pm c$ 为 $f(x)$ 的奇点，$0 \leq c \leq a$ ，又设 $f(x)$ 为偶函数，若 $\int_0 af(x)dx$ 收敛，则 $\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$

3. 反常积分分部积分

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有连续导数，当且仅当 $\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)g(x)$ 存在，且 $\int_a^{+\infty}f'(x)g(x)dx$ 收敛，则有 $\int_a^{+\infty}f(x)g‘(x)dx=f(x)g(x)|_a^{+\infty}-\int_a^{+\infty}f'(x)g(x)dx$ ，否则 $\int_a^{+\infty}f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx]_a^{+\infty}$

4. 重要反常积分

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx=2\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$

若 $a>0$ ，则 $\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}=\begin{cases} \frac{a^{1-p}}{p-1},& p>1\\ +\infty ,&p \leq 1 \end{cases}$

若 $a>1$ ，则 $\int_a^{+\infty} \frac{dx}{x\ln^px}=\begin{cases} \frac{\ln^{1-p}a}{p-1},& p>1\\ +\infty ,&p \leq 1 \end{cases}$

5. ChangeLog

2018.09.13 初稿