微分方程

1. 微分方程的定义

方程 $y^{(n)} = f(x,y,y',\cdots ,y^{(n-1)})$ 或 $F(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}) = 0$ 称为 n 阶微分方程，其中 $x,y,y',\cdots ,y^{(n-1)}$ 可以没有，但必须有 $y^{(n)}$ 。

2. 微分方程的解

设 $y = \varphi (x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续且直到 n 阶导数，使得 $\varphi^{(n)}(x) \equiv f(x,\varphi (x),\varphi '(x),\cdots ,\varphi ^{(n-1)}(x))$ 或 $F(x,\varphi (x),\varphi '(x),\cdots ,\varphi ^{(n)}(x)) \equiv 0$ ，则称 $y=\varphi (x)$ 为该微分方程在区间 $(a,b)$ 上的一个解。

2.1. 通解

若含有 n 个独立的任意常数的函数 $y=\varphi (x,C_1,\cdots ,C_n),x \in (a,b)$ 是 n 阶微分方程的解，则称它为该微分方程的通解。

2.2. 特解

条件 $y(x_0) = y_0, y'(x_0)=y'_0,\cdots, y^{(n-1)}(x_0)=y^{(n-1)}_0$ 称为 n 阶微分方程的初始条件（初值条件），其中 $y_0, y'_0,\cdots,y^{(n-1)}_0$ 为 n 个给定的数。

由初始条件确定通解中的任意常数得到的解称为特解。