函数极限

1. 定义

1.1. 邻域

设 $\delta > 0$ ，实数集合 $U(x_0,\delta ) = \{x|0 \leq |x-x_0| \leq \delta \}$ 称为点 $x_0$ 半径为 $\delta$ 的邻域。$\overset{o}U(x_0,\delta)$ 表示去心邻域，$U^+(x_0,\delta)$ 表示右邻域。

1.2. 函数极限定义

设函数 $f(x)$ 在 $\overset{o}U(x_0,\delta)$ 内有定义，若存在常数 $A$ ，$\forall \ \epsilon >0$ ，总存在 $\delta >0$ ，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$ ，则 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A$ 或 $f(x) \to A(x \to x_0)$ .

函数极限存在的充要条件左极限和右极限均存在且相等。

1.3. 函数极限的运算法则

若 $\lim f(x) =A,\lim g(x) =B,f(x)-A=\alpha(x),g(x)-B=\beta(x)$ ，则

• $\lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
• $\lim[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$
• $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$
• $\lim f(x)^{g(x)}=A^B(A>0)$ （定义法）

2. 函数极限性质

2.1. 唯一性

若 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在，则此极限值必唯一。

2.2. 局部有界性

若 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A$ ，则 $f(x)$ 在 $\overset{o}U(x_0,\delta)$ 内有界。

2.3. 局部保号性

若 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A(A>0)$ ，则存在 $\delta >0$ ，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$ .

若在 $\overset{o}U(x_0,\delta)$ 内有 $f(x) \geq 0$ ，且 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A$ ，则 $A \geq 0$ .

2.4. 海涅定理

若函数 $f(x)$ 在 $\overset{o}U(x_0,\delta)$ 内有定义，则 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=A$ 存在的充要条件是，对任何以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n \}(x_n \neq x_0)$ ，极限 $\lim \limits_{n \to \infty}f(x_n)=A$ 存在。

$x \to \infty$ 时，要求 $f(x)$ 当 $|x|>X$ 时有定义

2.5. 夹逼准则

设函数 $f(x),g(x),\varphi(x)$ 满足

• $g(x)\leq f(x) \leq \varphi(x)$
• $\lim g(x)=\lim \varphi (x)=A$

则 $\lim f(x)$ 存在且 $\lim f(x) = A$ .

注意

• $x \to x_0$ 时，要求 $f(x)$ 在 $\overset{o}U(x_0,\delta)$ 内有定义
• $x \to \infty$ 时，要求 $f(x)$ 当 $|x|>X$ 时有定义，$X$ 为充分大的正数

3. 洛必达法则

设

• 当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$ ）时，函数 $f(x),F(x)$ 都趋于 0 或 $\infty$
• 在 $\overset{o}U(x_0,\delta)$ 内（或 $|x|>X$ ，$X$ 为充分大的正数），$f'(x),F'(x)$ 存在且 $F'(x) \neq 0$
• $\lim \limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{F(x)}$ （或 $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{F(x)}$ ） 存在或为无穷大

则 $\lim \limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim \limits_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{F'(x)}$ （或 $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim \limits_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}$ ）

一般表达式中含有 $\lim \limits_{x \to x_0} \sin \frac{1}{x-x_0}$ 或 $\lim \limits_{x \to \infty} \cos x$ 等时，不用洛必达法则。

4. 无穷大量和无穷小量

若当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$ ）时，函数 $f(x)$ 都趋于 0 ，则称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$ ）时的无穷小。

若当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$ ）时，函数 $f(x)$ 都趋于 $\infty$ ，则称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ （或 $x\to \infty$ ）时的无穷大。

4.1. 无穷小的比阶

设同一自变量的变化过程中，$\lim \alpha(x)=0,\lim \beta (x)=0(\beta(x) \neq 0)$ ，若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ 存在或无穷大，则 $\alpha(x), \beta(x)$ 可比阶。

4.2. 等价无穷小代换

设同一自变量的变化过程中， $\alpha_1(x), \alpha_2(x),\beta_1(x),\beta_2(x)$ 都是无穷小，且 $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x),\beta_1(x)\sim \beta_2(x)$

• 若 $\lim \frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}$ 存在或无穷大，则 $\lim \frac{\alpha_2(x)}{\beta_2(x)}= \lim \frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}$ .
• 若 $\lim \frac{\alpha_1(x)f(x)}{\beta_1(x)g(x)}$ 存在或无穷大，则 $\lim \frac{\alpha_2(x)f(x)}{\beta_2(x)g(x)}= \lim \frac{\alpha_1(x)f(x)}{\beta_1(x)g(x)}$ .

4.3. 无穷小的皮亚诺余项泰勒公式

$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!}+ o(x^n)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \cdots + \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$

$\arcsin x = x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+o(x^5)=x+\frac{1}{6}x^3+ \cdots +\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+3}) \ |x|<1$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$

$\tan x = x+\frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5+o(x^5)=x+\frac{1}{3}x^3 +\cdots + \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}) \ |x|< \frac{\pi}{2}$

$\arctan x = x-\frac{1}{3}x^3+\cdots +(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})$

$ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n)$

$(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots +\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

5. 常用极限

设 $a(x)\to 0$ ，且 $\forall \ x \in \overset{o}U(x_0,\delta)$ ，有 $a(x) \neq 0$ ，则 $\lim \frac{sin(a(x))}{a(x)}$

$\lim \limits_{x\to +\infty}(x)^{\frac{1}{x}}=1$ ，$\lim \limits_{x\to 0^+}(x)^{\frac{1}{x}}=0$ ，$\lim \limits_{x\to 0^+}x^{x}=1​$

$\lim \limits_{x \to +\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ ，$\lim \limits_{x \to -\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$ ，$\lim \limits_{x \to +\infty}arccot x = 0$ ，$\lim \limits_{x \to +\infty}arccot x = \pi$

$\lim \limits_{x \to 0^+}x^a(lnx)^k=0,\lim \limits_{x \to +\infty}x^ae^{-xk}=0(a>0,k>0)$

6. ChangeLog

2018.09.01 初稿