函数

1. 定义

设 $x, y$ 为两个实变量，$D$ 是一个给定的非空数集，若 $\forall x\in D$，按一定法则，都有唯一的 $y$ 与之相对，则称变量 $y$ 是变量 $x$ 的函数，记作 $y=f(x)$ ，其中 $f$ 为对应法则，$D$ 为定义域，函数在定义域上所有取值的集合为函数的值域，记作 $E$ 。

函数也可表示为 $f:X \rightarrow Y$ （映射），函数 $f$ 将数集 $X=D$ 映射成数集 $Y=E$，称数集 $Y$ 是数集 $X$ 在映射 $f$ 下的象。

当且仅当两个函数的定义域和对应法则都相同的函数才想同。

2. 函数的四种性质

2.1. 奇偶性

奇函数 $f(-x) = -f(x)$ ；偶函数$f(-x) = f(x)$

推论：

• 奇偶函数的和、积、复合均可由 $-x$ 代入推导得到
• $f(x)$ 可导偶 $\Rightarrow f'(x)$ 奇；$f(x)$ 可导奇 $\Rightarrow f'(x)$ 偶；$f(x)$ 连续偶 $\Rightarrow \int ^x_0 f(t) dt$ 奇；$f(x)$ 连续奇 $\Rightarrow \int ^x_a f(t) dt$ 偶；
• 若定义域 D 关于原定对称，则 $f(x)$ = 奇 + 偶
• 奇函数原点两边的凹凸性相反；偶函数原点两边的凹凸性相同

2.2. 有界性

设函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若 $\exist M, s.t. \forall x \in I$ ，恒有 $|f(x)|\le M$ ，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。

2.3. 单调性

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若 $\forall x_1,x_2 \in I$ ，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<(\leq )f(x_2)$ ，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增（不减）。

• 单调函数一定存在反函数，且单调性不变
• 单调函数的复合函数仍是单调函数

2.4. 周期性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在常数 $T>0$ ，当 $x \in D$ 时，有 $x+T \in D$ 且 $f(x+T)=f(x)$ ，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为它的一个周期。

• $\int _a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$
• ? $f(x)$ 是以 T 为周期的可导函数，则 $f'(x)$ 仍是以 T 为周期的可导函数

3. 隐函数

设有方程 $F(x,y)=0$ ，若 $\forall x \in D$ ，恒有唯一确定的 $y$ ，使得 $F(x,y)=0$ ，则称 $y=y(x)$ 为由方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数，$F(x,y)=0$ 为隐函数方程。

3.1. 隐函数求导

设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0.y_0,z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0,F'_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0$ ，则方程 $F(x_0,y_0,z_0)=0$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域能唯一确定一个单值连续且具有连续一阶偏导数的函数 $z=f(x,y)$ ，满足 $z_0=f(x_0,y_0)$ ，并有 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z},\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}$

4. 反函数

若某一函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $E$ ，$\forall y \in E$ 有唯一的 $x\in D$ 与之对应，则定义了一个新函数 $x=g(y)$ ，称该函数为 $y=f(x)$ 的反函数，记作 $x=f^{-1}(y)$ .

4.1. 反函数的导数

• $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'}$
• $\frac{d^2x}{dy^2} = - \frac{y''}{y'^3}$

5. 函数的连续与间断

5.1. 函数的连续

某点处的连续：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，若 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ 或 $\lim \limits_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim \limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续。

$f(x)$ 在点 $x_0$ 连续的充要条件是$f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续且右连续。

开区间内连续：若 $\forall x_0 \in (a,b)$ ，有 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续。

闭区间上连续：若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且点 $x=a$ 右连续， 点 $x=b$ 左连续，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

初等函数在其定义域内连续，连续函数的和差积商以及复合仍连续。

介值定理

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)=A,f(b)=B$ ，则对任意 介于 A、B 间的值 C ，$\exist \xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi)=C$ .

零点定理

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$ ，则 $\exist \xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ .

设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且 $\lim \limits_{x \to a^+} f(x),\lim \limits_{x \to b^-} f(x)$ 存在且异号，则 $\exist \xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ .

5.2. 函数的间断

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，并且有一下三种情况

1. 在点 $x_0$ 无定义
2. 在点 $x_0$ 有定义，但 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)$ 不存在
3. 在点 $x_0$ 有定义，且 $\lim \limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在，但 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续 称点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。

第一类间断点

• 可去间断点： $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左右极限均存在且相等，但不等于 $f(x_0)$ 或 $f(x)$ 在点 $x_0$ 无定义
• 跳跃间断点： $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左右极限均存在且不相等

第二类间断点

• 无穷间断点： $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左右极限至少一个为无穷大
• 震荡间断点： $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左右极限至少一个震荡取值

6. ChangeLog

2018.08.30 初稿