微分中值定理与泰勒定理

1. 微分中值定理

1.1. 费马引理

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，$f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个极大（极小）值，又设 $f'(x_0)$ 存在，则 $f'(x_0)=0$ .

1.2. 拉格朗日中值定理

罗尔定理

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，又设 $f(a)=f(b)$ ，则至少在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$ .

拉格朗日中值定理

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，则至少在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ .

常用形式：设 $x_0,x$ 是闭区间 $[a,b]$ 上的任意两点，则至少存在一点 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间使得 $f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)$ 或存在 $\theta \in (0,1)$ 使得 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0+\theta(x-x_0))(x-x_0)$

1.3. 柯西中值定理

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0,x\in (a,b)$ ，则至少在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ .

2. 泰勒定理

2.1. 一元函数的泰勒定理

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有 $n$ 阶连续导数，在开区间 $(a,b)$ 内有直到 $n+1$ 阶导数，$x_0,x \in [a,b]$ 是任意两点，则至少存在一点 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间使得 $f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

2.2. 拉格朗日余项式

函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内具有二阶连续偏导数，点 $P(x,y)\in U(P_0)$ ，则存在 $\theta \in (0,1)$ ，使得 $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+R_1$$ 其中，余项 $$R_1=\frac{1}{2!}[\frac{\partial ^2f(P_1)}{\partial x^2}(x-x_0)^2+2\frac{\partial ^2f(P_1)}{\partial x\partial y}(x-x_0)(y-y_0)+\frac{\partial ^2f(P_1)}{\partial y^2}(y-y_0)^2]$$ 称为拉格朗日余项，$P_1=(x_0,\theta (x-x_0),y_0+\theta(y-y_0))$

2.3. 佩亚诺余项式

函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域 $U(P_0)$ 内具有二阶连续偏导数，点 $P(x,y)\in U(P_0)$ ，则 $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+ \\ \frac{1}{2!}[\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}(x-x_0)^2+2\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}(x-x_0)(y-y_0)+\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}(y-y_0)^2]+o(\rho ^2)$$ 其中 $\rho =\sqrt {(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2}$ ，称 $o(\rho ^2)$ 为佩亚诺余项。

3. 零点问题

3.1. 导函数零点的存在性

设以下所提及的导数都存在，若 $f(x)$ 有 $k(k \geq 2)$ 个零点，则 $f'(x)$ 至少有 $(k-1)$ 个零点，$f^{(k-1)}(x)$ 至少有 1 个零点。

3.2. 至多零点数

设以下所提及的导数都存在，则

• 若 $f'(x)$ 没有零点，则 $f(x)$ 至多有一个零点；
• 若 $f'(x)$ 至多有 $k$ 个零点，则 $f(x)$ 至多有 $k+1$ 个零点；
• 若 $f''(x)$ 没有零点，则 $f'(x)$ 至多有 1 个零点，$f(x)$ 至多有 2 个零点……

4. ChangeLog

2018.09.12 初稿