常数项级数

1. 定义

设有数列 $\{u_n\}$ ，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + \cdots +u_n + \cdots$ 为无穷级数。令 $S_n = u_1 + u_2 + \cdots +u_n(n=1,2,\cdots)$ ，则称数列 $\{S_n\}$ 为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和数列。

• 若 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_n = S$ ，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，此时极限 S 称为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的和；
• 若 $\{S_n\}$ 没有极限，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

由定义可得级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的必要条件是 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_n = 0$

2. 级数的判别准则

2.1. 正项级数

$\sum_{n=1}^{\infty} u_n,u_n \geq 0$

基本定理：正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛<=>部分和数列 $\{S_n\}$ 有界。

比较判别法

若 $0 \leq u_n \leq v_n$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛 => $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散 => $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散。

比较判别法的极限形式：设 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n} = l \quad (0 \leq l \leq + \infty)$，

• 若 $0<l<+ \infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 同敛散；
• 若 $l=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛 => $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；
• 若 $l= \infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散 => $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

$\rho$ 判别法

比值判别法：设 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$ ，则

• 若 $\rho < 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；
• 若 $\rho > 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散；
• 若 $\rho = 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 不确定；

根值判别法：设 $\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] {u_n} = \rho$ ，则

• 若 $\rho < 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；
• 若 $\rho > 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散；
• 若 $\rho = 1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 不确定；

特定级数

几何级数： $\sum_{n=1}^{\infty} r^n$ ，当 $|r|<1$ 时收敛，当 $|r| \geq 1$ 时发散。

p 级数（对数 p 级数）： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ ( $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{nln^pn}$)，当 $p>1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散。

判别法先后顺序

1. 判断 $\lim \limits_{n \to \infty} u_n = 0?$
2. $\rho$ 判别法
3. 比较判别法（无穷小量、特定级数）
4. 定义（部分和数列有界）

2.2. 交错级数

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n,u_n \geq 0$

莱布尼茨准则

若 $u_n \geq u_{n+1}(n = 1,2, \cdots)$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 收敛。

使用该准则时，时可找一个可导函数 $f(x)$ ，使得 $f(n) = u_n$ ，再证明 $f'(x)<0$ 且 $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = 0$

2.3. 任意项级数

$\sum_{n=1}^{\infty} u_n,u_n \in R$

绝对收敛：若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛；

条件收敛：若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛。

设 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} | \frac{u_{n+1}}{u_n}| = \rho$ ，若 $\rho > 1$ ，则$\lim \limits_{n \to \infty} |u_n| =+ \infty$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

3. ChangeLog

2018.08.17 初稿