微积分的几何应用

1. 切平面和切线

图形的空间关系

1.1. 切平面

设曲面 $\Sigma$ 的方程为 $F(x,y,z)=0$ ，并设点 $(x_0,y_0,z_0)\in \Sigma$ ，三个偏导数不同时为零，则曲面在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 $$\overrightarrow n = \{F'_x, F'_y,F'_z\}$$

1.2. 切线

设曲线 $\Gamma$ 的方程为一般式：$\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$ ，则该曲线在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处的切向量为曲面 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$ 在该点的法向量 $\overrightarrow n_1$ 和 $\overrightarrow n_2$ 的向量积。

2. 平面图形的几何问题

2.1. 平面图形面积

直角坐标系

可将图形分解为一对边界平行于坐标轴，另一对边界可用变量表达的图形，再求积分。

极坐标系

极坐标曲线 $r=r(\theta)$ 介于两射线 $\theta = \alpha,\theta = \beta (0<\beta -\alpha \leq 2\pi)$ 之间的曲边扇形的面积 $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta$

2.2. 平面曲线弧长

参数方程曲线

参数方程曲线 $\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases},\alpha \leq t \leq \beta$ 的弧长（ $x'(t),y'(t)$ 均连续且不同时为零），$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

直角坐标

$y=y(x),a<x<b$ 的弧长（$y'(x)$ 连续），$s=\int_a^b \sqrt{1+y'^2(x)}dx$

极坐标

极坐标曲线 $r=r(\theta)，\alpha \leq \theta \leq \beta$ 的弧长（$r(\theta),r'(\theta)$ 连续且不同时为零），$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta$

2.3. 旋转体体积

曲线 $y=y(x)$ 与 $x=a,x=b(a<b)$ ，$x$ 轴围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体体积 $$V=\pi \int_a^b y^2(x)dx$$ 曲线 $y=y_1(x),y=y_2(x)$ 与 $x=a,x=b(b>a \geq 0,y_2(x) \geq y_1(x))$ 围成的图形绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转体体积 $$V=2\pi \int_a^b x(y_2(x)-y_1(x))dx$$

2.4. 旋转曲面面积

在区间 $[a,b]$ 上的曲线 $y=f(x)$ 的弧段绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转曲面面积 $$S=2\pi \int_a^b|y|\sqrt{1+f'^2(x)}dx$$

3. ChangeLog

2018.09.14 初稿