微积分的几何应用

1. 切平面和切线

图形的空间关系

1.1. 切平面

设曲面 的方程为 ,并设点 ,三个偏导数不同时为零,则曲面在点 处的法向量为

1.2. 切线

设曲线 的方程为一般式: ,则该曲线在点 处的切向量为曲面 在该点的法向量 的向量积。

2. 平面图形的几何问题

2.1. 平面图形面积

直角坐标系

可将图形分解为一对边界平行于坐标轴,另一对边界可用变量表达的图形,再求积分。

极坐标系

极坐标曲线 介于两射线 之间的曲边扇形的面积

2.2. 平面曲线弧长

参数方程曲线

参数方程曲线 的弧长( 均连续且不同时为零),

直角坐标

的弧长( 连续),

极坐标

极坐标曲线 的弧长( 连续且不同时为零),

2.3. 旋转体体积

曲线 轴围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积 曲线 围成的图形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积

2.4. 旋转曲面面积

在区间 上的曲线 的弧段绕 轴旋转一周所成的旋转曲面面积

3. ChangeLog

2018.09.14 初稿

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