微积分的几何应用
1. 切平面和切线
图形的空间关系
1.1. 切平面
设曲面 的方程为 ,并设点 ,三个偏导数不同时为零,则曲面在点 处的法向量为
1.2. 切线
设曲线 的方程为一般式: ,则该曲线在点 处的切向量为曲面 和 在该点的法向量 和 的向量积。
2. 平面图形的几何问题
2.1. 平面图形面积
直角坐标系
可将图形分解为一对边界平行于坐标轴,另一对边界可用变量表达的图形,再求积分。
极坐标系
极坐标曲线 介于两射线 之间的曲边扇形的面积
2.2. 平面曲线弧长
参数方程曲线
参数方程曲线 的弧长( 均连续且不同时为零),
直角坐标
的弧长( 连续),
极坐标
极坐标曲线 的弧长( 连续且不同时为零),
2.3. 旋转体体积
曲线 与 , 轴围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积 曲线 与 围成的图形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积
2.4. 旋转曲面面积
在区间 上的曲线 的弧段绕 轴旋转一周所成的旋转曲面面积
3. ChangeLog
2018.09.14 初稿