曲线积分与曲面积分

1. 对弧长的线积分（第一类线积分）

1.1. 定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面上的分段光滑曲线弧段（每段都是光滑的）， $f(x,y)$ 为定义在 $L$ 上的有界函数，则 $f(x,y)$ 在 $L$ 上对弧长的积分为 $$\int_L f(x,y) ds \triangleq \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i$$ 其中 $\Delta s_i$ 表示第 $i$ 段小弧段长度，$\lambda = \max \limits_{a \leq i \leq n} \Delta s_i$ ，若 $f(x,y)$ 在 $L$ 连续，则 $\int _L f(x,y) ds$ 存在，且线性积分与积分路径方向无关。

1.2. 计算

1. 直接法：转换为一元积分

   1. 参数方程：$\int_L f(x,y) ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(x(t),y(t)) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$
   2. 直角坐标系：$\int_L f(x,y) ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(x,y(x)) \sqrt{1+y'^2(x)}dx$
   3. 极坐标：$\int_L f(x,y) ds = \int_{\alpha}^{\beta} f(\rho (\theta)\cos \theta,\rho (\theta ) \sin \theta) \sqrt{\rho ^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}d\theta$

2. 对称性：

   1. 积分区域对称，积分函数奇偶性
   2. 变量对称

2. 对坐标的线积分（第二类线积分）

2.1. 定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面上的从 A 到 B 一段有向光滑曲线， $P(x,y),Q(x,y)$ 为 $L$ 上的有界函数，则 $P(x,y),Q(x,y)$ 沿 $L$ 对坐标的积分为 $$\int_{L(AB)} P(x,y) dx + Q(x,y) dy = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n [P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i]$$ 其中 $\Delta s_i$ 表示第 $i$ 段小弧段长度，$\lambda = \max \limits_{a \leq i \leq n} \Delta s_i$ ，$\Delta x_i,\Delta y_i$ 分别是 $\Delta s_i$ 在 x, y 轴上的投影。若 P, Q 在 $L$ 连续，则上述积分存在，且线性积分与积分路径方向有关。

2.2. 与对弧长的积分的关系

$\int_L (P \cos \theta + Q \sin \theta )ds = \int_L P dx + Q dy$

2.3. 计算

1. 直接法：转化为一元积分

2. 格林公式：

   设闭区域 D 由分段光滑闭曲线  L  围成，函数 P(x,y) 及  Q(x,y) 在 D 上有一阶连续偏导数（分别对 y,x 有一阶连续偏导），则有 $\int_LPdx+Qdy = \iint _D (\frac {\partial Q}{\partial x}- \frac {\partial P}{\partial y})dxdy$ 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线（L 的正向左侧为 D）。

3. 利用积分与路径无关：

   设 P(x,y), Q(x,y) 在单连通域 D 上有连续一阶偏导（分别对 y, x 偏导），则一下四条命题等价

   1. C 为 D 中任意光滑闭曲线，$\int_C Pdx+Qdy=0$
   2. L 为任意光滑曲线，$\int_L Pdx+Qdy$ 与路径无关
   3. 存在可微函数 $F(x,y)$ ，使得 $Pdx +Qdy = dF$
   4. 在 D 内任一点，$\frac {\partial Q}{\partial x}=\frac {\partial P}{\partial y}$

   证明：

   1->2：明显

   2->3：对 D 上任意两点 $A(x_0,y_0),B(x,y)$ ，令 $u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)} ^{(x,y)} Pdx+Qdy$ ，则 $\frac{\partial u}{\partial x} = \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y)-u(x,y)}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{P(x+\Delta x, y)-P(x,y)}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} P(x+\theta \Delta x,y) = P(x,y)$

   3->4：F 的二阶偏导连续->二阶偏导相等

   4->1：格林公式

   运用：沿坐标轴积分 4->2；凑可微函数 $\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)} dF$ 4->3；闭曲线4->1

3. 空间的线积分

3.1. 计算

1. 直接法：转换为一元积分
2. 斯托克斯公式：设闭区域 $\Sigma$ 分段光滑的空间有向闭曲线  $\Gamma$  围成的分段光滑有向曲面，函数 P，Q，R 在 $\Sigma$  上有一阶连续偏导数，则有 $\int_LPdx+Qdy +Rdz = \iint _\Sigma (\frac {\partial Q}{\partial x}- \frac {\partial P}{\partial y})dxdy + (\frac {\partial R}{\partial y}- \frac {\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac {\partial P}{\partial z}- \frac {\partial R}{\partial x})dzdx$

3.2. 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）

3.3. 定义

设 $\Sigma$ 为分片光滑曲面片（每片都是光滑的），$f(x,y,z)$ 为定义在 $\Sigma$ 的有界函数，则 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上对面积积分为 $$\iint_{\Sigma} f(x,y,z) dS \triangleq \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum _{i=0}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta S_i$$ 其中 $\Delta S_i$ 为第 i 个小曲面块的面积，若 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，则 $\iint_{\Sigma} f(x,y,z) dS$ 存在，且与曲面 $\Sigma$ 选取的侧无关。

3.4. 计算

1. 直接法：$\iint_{\Sigma} f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x'^2 + z_y'^2} dxdy$
2. 对称性：面对称和变量对称

4. 对坐标的面积分（第二类面积分）

4.1. 定义

设 $\Sigma$ 为光滑有向曲面，$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界，则 $$\iint_{\Sigma} Pdydz + Qdzdx +Rdzdy \triangleq \lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum _{i=0}^n [P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta (S_i)_{yz} + Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta (S_i)_{zx} + R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta (S_i)_{xy}]$$ 其中 $(\Delta S_i)_{yz}$ 为第 i 个小曲面块在坐标面 $yOz$ 上的投影，若 P, Q, R 在 $\Sigma$ 上连续，则 $\iint_{\Sigma} Pdydz + Qdzdx +Rdzdy$ 存在，且与曲面 $\Sigma$ 选取的侧有关。

4.2. 两类曲面积分的联系

$\iint_{\Sigma} Pdydz + Qdzdx +Rdzdy = \iint_{\Sigma} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) dS$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为曲面 $\Sigma$ 上一点指定侧的法向量的方向余弦（法向量指向指定侧，方向余项为法向量与坐标轴正向的夹角的余弦）。

4.3. 计算

1. 直接法

   若有向曲面 $\Sigma : x=x(y,z), \quad (y,z) \in D_{yz}$ ，则 $$\iint_{\Sigma} P(x,y,z) dydz = \pm \iint_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z) dydz$$

   若有向曲面的法向量与 x 轴正向夹角为锐角，则上式为 +

   若有向曲面 $\Sigma : x=x(y,z), \quad (y,z) \in D_{yz}$ ，$x=x(y,z)$ 在 $D_{yz}$ 上与连续一阶偏导数，P, Q, R 在 $\Sigma$ 上连续，则

   $$\iint_{\Sigma} Pdydz + Qdzdx +Rdzdy = \pm \iint_{D_{yz}} [P(x(y,z),y,z) +Q(x(y,z),y,z) (-\frac{\partial x}{\partial y}) + R(x(y,z),y,z) (-\frac{\partial x}{\partial z})]dydz$$ 若有向曲面的法向量与 x 轴正向夹角为锐角，则上式为 +

2. 高斯公式

   设空间闭区域 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成，函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,x)$ 在 $\Omega$ 上有连续一阶偏导数，闭曲面 $\Sigma$ 取外侧，则 $$\iint_{\Sigma} Pdydz + Qdzdx +Rdzdy = \iiint_{\Omega} (\frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$$ 注意函数 P, Q, R 分母为零的点

3. 注意点

   当积分区域为有向区域时，用区域对称性化简时要考虑区域的方向。

5. ChangeLog

2018.08.10 重积分

2018.08.14 曲线积分

2018.08.15 曲面积分

2018.08.16 场论初步、多元积分应用

2018.09.14 删除物理应用

2018.09.14 删除重积分