一元函数积分

1. 不定积分与定积分定义

1.1. 不定积分定义

设 $F'(x)=f(x),x\in (a,b)$ ，则称 $F(x)+C$ 为 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上的一个原函数，记 $\int f(x)dx=F(x)+C$ .

1.2. 定积分定义

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义且有界，经过

1. 分割：用 $n-1$ 个分点分割区间 $[a,b]$ ；
2. 做乘积：$f(\xi_i)\Delta x_i$ ，其中 $x_{i-1} \leq \xi_i \leq x_i,\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ ；
3. 求和：$\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$ ；
4. 取极限：$\lim \limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$ ，其中 $\lambda = \underset{1\leq i \leq n} {max} |\Delta x_i|$ .

若上述极限存在（与分法无关、与 $\xi_i$ 取法无关），则称 $f(x)$ 在在 $[a,b]$ 上可积，并称上述极限为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记为 $\lim \limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i=\int_a^b f(x)dx$

2. 不定积分与定积分性质

2.1. 定积分存在定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x)dx$ 存在。

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\int_a^b f(x)dx$ 存在。

2.2. 原函数存在定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上必存在原函数。

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有跳跃间断点 $x_0\in (a,b)$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不存在原函数。

若 $f(x)$ 不连续，则原函数存在与否与定积分存在与否不相干。

2.3. 不定积分与定积分的关系

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $(\int_a^x f(t)dt)'=f(x),x\in [a,b]$ 由此可知，$\int_a^xf(t)dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，从而 $\int f(x)dx=\int_a^x f(t)dt+C$

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上除点 $x=x_0\in(a,b)$ 外均连续，而在 $x=x_0$ 处 $f(x)$ 有跳跃间断点，记 $F(x)=\int_c^x f(t)dt$ ，无论 $c$ 是否为 $x_0$ ，均有

• $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
• $F'(x)=f(x),x\in[a,b],x \neq x_0$
• $F'_-(x_0)=f(x_0^-),F'_+(x_0)=f(x_0^+)$

2.4. 牛顿莱布尼茨定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int_a^b f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

2.5. 积分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$

推广：若 $g(x)$ B 不变号，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $\int_a^b f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx$

3. 不定积分与定积分计算

3.1. 基本积分公式

设 $a>0$ ，则有

$\int \tan x dx = -\ln|\cos x|+C$

$\int cot x dx = \ln|\sin x|+C$

$\int \sec x dx=\ln|\sec x +\tan x|+C$

$\int \csc x dx =\ln|\csc x -cot x| +C$

$\int \sec^2 x dx=\tan{x} +C$

$\int \csc^2{x} dx = -cotx +C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a} \arctan {\frac{x}{a}}+C$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{a+x}{a-x}|+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$

3.2. 基本积分方法

第一换元法：不定积分的凑微分求积分法

设 $f(u)$ 连续，$\varphi (x)$ 具有连续的一阶导数，则有公式 $$\int f(\varphi (x))\varphi '(x)=\int f(\varphi (x))d\varphi(x)\overset{\varphi(x)=u}=\int f(u)du\overset{if}=F(u)+C \overset{then}=F(\varphi (x))+C$$

第二换元法：不定积分的换元积分法

设 $f(u)$ 连续，$x=\varphi (t)$ 具有连续的一阶导数 $\varphi '(t)$ ，且 $\varphi '(t)\neq 0$ ，则 $$\int f(x)dx\overset{x=\varphi (t)}=(\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt)_{t=\psi(x)}$$ 即右边对 $t$ 积分后再以 $x=\varphi(t)$ 的反函数 $t=\psi(x)$ 代回。

定积分的换元法

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x=\varphi (t)$ 满足条件：$a=\varphi(\alpha),b=\varphi(\beta)$ ，且当 $t$ 在以 $\alpha,\beta$ 为端点的闭区间 $I$ 上变动时，$a\leq \varphi(t)\leq b$ ，$\varphi'(t)$ 连续，则有定积分的换元公式 $$\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$$

这里 $\alpha,\beta$ 未规定哪个大。

不定积分与定积分的分部积分法

设 $u(x),v(x)$ 均有连续导数，则 $$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx,\int _a^b u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)dx$$

常见的有：$\int x^ne^xdx,\int x^n \sin x dx,\int x^n \cos x dx, \\\int x^n \ln x dx,\int x^n \arctan x dx, \int x^n \arcsin x dx,\\ \int e^x \sin x dx,\int e^x \cos x dx$

常见的典型类型换元法

设 $R(u,v)$ 为 $u,v$ 的有理函数。

• $\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx,\int R(x,\sqrt{x^2 \pm a^2})dx,a>0$ 型

  • 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ ，则令 $x=a\sin t$
  • 含 $\sqrt{x^2+a^2}$ ，则令 $x=a\tan t$
  • 含 $\sqrt{x^2-a^2}$ ，则令 $x=a\sec t$

• $\int R(x,\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[m]{ax+b})dx,a \neq 0$ 型

  令 $t=\sqrt[mn]{ax+b}$ ，$x=\frac{t^{mn}-b}{a}$

• $\int R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})​$ 型

  令 $t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ ，$x=\frac{dt^2-b}{a-ct^2}$ ，其中设 $ad-bc \neq 0$

• $\int R(\sin x, \cos x)dx$ 型

  令 $\tan \frac{x}{2}=t$ ，则 $\sin x= \frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

3.3. 有用的定积分公式

直角坐标系中以原点为圆心的圆的积分

四分之一圆：$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{\pi}{4}a^2$

半圆：$\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{\pi}{2}a^2$

华里士公式

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \quad,n 为正偶数 \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot \cdots \frac{2}{3} \cdot 1 \quad,n 为大于1的正奇数\end{cases}$

4. ChangeLog

2018.09.13 初稿