幂级数

1. 函数项级数

设 $u_1(x), u_2(x), \cdots , u_n(x)$ 是定义在区间 $I$ 上的函数序列，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 为定义在区间 $I$ 上的函数项级数。

若 $x_0 \in I$ ，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的收敛点，否则为发散点，所有的收敛点的集合称为收敛域。

函数项级数在收敛域内的和记为$S(x)$ ， $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 。

2. 幂级数的定义

2.1. 定义

形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ 的函数项级数称为 $(x-x_0)$ 的幂级数。

2.2. 阿贝尔定理

• 若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 当 $x=x^*(x^* \neq 0)$ 时收敛，则当 $|x|<|x^*|$ 时 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 绝对收敛；
• 若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 当 $x=x^*$ 时发散，则当 $|x|>|x^*|$ 时 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 发散。

2.3. 求收敛半径和收敛域

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ ，当 n 充分大时 $a_n \neq 0$ ， $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$ ，则

• 若 $\rho = +\infty$ ，则收敛半径 $R=0$
• 若 $0 < \rho < +\infty$ ，则收敛半径 $R= \frac{1}{\rho}$
• 若 $\rho = 0$ ，则收敛半径 $R= +\infty$

设 $\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n] {a_n} = \rho$ ，则

• 若 $\rho = +\infty$ ，则收敛半径 $R=0$
• 若 $0 < \rho < +\infty$ ，则收敛半径 $R= \frac{1}{\rho}$
• 若 $\rho = 0$ ，则收敛半径 $R= +\infty$

设幂级数的和函数为 $S(x)$ ，则其收敛域包括 $(-R,R)$ ，而 $x=\pm R$ 需要单独代入幂级数的和函数看是否收敛。若和函数收敛，则和函数的收敛域包含该点；否则不包含。

若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ 在 $x=b$ 处条件收敛，则 $x=b$ 为该幂级数收敛区间的一个端点。

2.4. 性质

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$ ，和函数为 $S_1(x)$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$ ，和函数为 $S_2(x)$ ， $R=\min(R_1, R_2)$ ，则

• $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n+b_n)x^n = S_1(x)+S_2(x),x\in(-R,R)$
• $(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n)(\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n)=\sum_{n=0}^{\infty} (a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0)x^n = S_1(x)S_2(x),x\in(-R,R)$

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的和函数为 $S(x)$ ，则 $S(x)$ 在其收敛域内连续、可导和可积。

3. 函数的幂级数展开

3.1. 泰勒级数与麦克劳林级数

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处任意阶可导，则幂级数 $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \cdots$$ 称为 $f(x)$ 在$x=x_0$ 处的泰勒级数。

当 $x_0 = 0$ 时，泰勒级数即为麦克劳林级数。

3.2. 泰勒级数的收敛定理

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处任意阶可导，则泰勒级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 在 $|x-x_0|<R$ 内收敛于 $f(x)$ 的充要条件是 $\lim \limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0(|x-x_0|<R)$ ，其中 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}[x_0+\theta (x-x_0)]}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

3.3. 常用的麦克劳林展开式

• $\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+ \cdots +x^n+\cdots,x \in (-1,1)$
• $e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!}+ \cdots,x \in (-\infty,+\infty)$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \cdots + \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots,x \in (-\infty,+\infty)$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} + \cdots,x \in (-\infty,+\infty)$
• $ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+\cdots,x \in (-1,1]$
• $(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots +\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}x^n + \cdots,x \in(-1,1)$

3.4. 将函数展开为幂级数的方法

直接法

1. 求出 $f(x)$ 在 $x_0$ 点处的各阶导数 $f^{(n)}(x_0)$ ，写出 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处泰勒级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
2. 考察极限 $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{f^{(n+1)}[x_0 + \theta (x-x_0)]}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 是否为0

间接法

利用常用的麦克劳林展开式变换求得

4. ChangeLog

2018.08.19 初稿