空间曲面与曲线

1. 旋转面

旋转面是由一条平面曲线绕其平面上的定直线旋转一周所成的曲面，旋转曲线称为旋转面的母线，定直线叫做旋转曲面的轴。

1.1. 旋转面方程

设有 $xOy$ 面上的曲线 $L:\begin{cases} f(x,y)=0\\z=0 \end{cases}$ ，则曲线 $L$ 绕 $x$ 轴旋转产生的旋转面方程为 $f(x,\pm \sqrt{y^2+z^2})=0$

2. 柱面

平行于定直线并沿定曲线 $C$ 移动的直线 $L$ 形成的轨迹叫做柱面，定曲线 $C$ 叫做柱面的准线，动直线 $L$ 叫做柱面的母线。

2.1. 柱面方程

方法一

准线为 $L:\begin{cases} F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{cases}$ ，母线的方向向量为 $\{l,m,n\}$ 的柱面方程：

先在准线 $L$ 上任取一点 $(x_0,y_0,z_0)$ ，则过该点的母线方程为 $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ ，消去方程组 $\begin{cases} F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \\\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\end{cases}$ 中的 $x_0,y_0,z_0$ 得到关于 $x,y,z$ 的方程即为柱面方程。

方法二

准线为 $L:\begin{cases} x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{cases}$ ，母线的方向向量为 $\{l,m,n\}$ 的柱面方程： $$\begin{cases} x=x(t)+ls\\y=y(t)+ms\\z=z(t)+ns \end{cases}$$ $t,s$ 均为参数。

2.2. 常见柱面

圆柱面：$x^2+y^2=R^2$

椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

抛物柱面：$y^2=2px$

3. 常见的二次曲面

椭球曲面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

椭圆抛物面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz(p>0)$

单叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

双叶双曲面

$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

双曲抛物面

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz(p>0)$

二次锥面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

4. ChangeLog

2018.09.17 初稿