微分导数在研究函数性态上的应用

1. 导数在研究函数性态上的应用

1.1. 极值

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个邻域内有定义，若存在一个邻域 $U(x_0)$ ，当 $x \in U(x_0)$ 时有 $f(x) \leq(\geq) f(x_0)$ ，称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的一个极大（极小）值，点 $x=x_0$ 称为 $f(x)$ 的极大（极小）值点。

可导点处极值的必要条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且 $f'(x_0)$ 存在，则 $f'(x_0)=0$

极值的充分条件

1. 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，在 $x=x_0$ 的去心邻域内可导，
   • 若在 $x=x_0$ 的左侧邻域内 $f'(x)>0$ ，右侧邻域内 $f'(x)<0$ ，则 $f(x_0)$ 为极大值
   • 若在 $x=x_0$ 的左侧邻域内 $f'(x)<0$ ，右侧邻域内 $f'(x)>0$ ，则 $f(x_0)$ 为极小值
2. 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处存在二阶导数，$f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq 0$ ，
   • 若 $f''(x_0)<0$ ，则 $f(x_0)$ 为极大值
   • 若 $f''(x_0)>0$ ，则 $f(x_0)$ 为极小值

1.2. 凹凸性

设 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$ ，联结点 $A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))y=f(x)$ 的弦 $\overline {AB}$ 总在弧 $\overset{\frown} {AB}$ 上方（下方），则称曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是凹（凸）的。连续曲线 $y=f(x)$ 的凹凸弧分界点称为曲线的拐点。

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上 $f''(x_0) \geq(\leq) 0$ ，且不在任意子区间上取等号，则曲线 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上是凹（凸）的。拐点的必要条件是 $f''(x_0)=0$ 或不存在，充分条件还需加上，在 $x_0$ 的两边 $f''(x_0)$ 的符号相反。

1.3. 驻点

连续曲线 $y=f(x)$ 上，若 $f'(x_0)=0$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的驻点（或稳定点、临界点）。

1.4. 最值

设 $f(x)$ 在某区间 $I$ 上有定义，若存在 $x_0 \in I$ ，使对一切 $x\in I$ 有 $f(x) \leq(\geq) f(x_0)$ ，称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大（最小）值。

1.5. 渐近线

水平渐近线

若 $\lim \limits_{x \to +\infty} f(x)=b$ 或 $\lim \limits_{x \to -\infty} f(x)=b$ ，则 $y=b$ 是一条水平渐近线。

铅直渐近线

若 $\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)=\infty$ 或 $\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)=\infty$ ，则 $x=x_0$ 是一条铅直渐近线。

斜渐近线

若 $\lim \limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=a(a\neq 0),\lim \limits_{x \to +\infty} (f(x)-ax)=b$ ，则 $y=ax+b$ 是一条斜渐近线。 $(x \to -\infty)$ 也成立。

1.6. 曲率

设 $f(x)$ 存在二阶导数，曲线 $y=f(x)$ 在其上点 $(x,f(x))$ 处的曲率计算公式是 $k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$ .

设在点 $M(x,f(x))$ 处 $y'' \neq 0$ ，经过点 $M$ 在曲线 $y=f(x)$ 的凹向作该曲线的法线，在法线上取点 $C$ .以 $|\overline{CM}|=\frac{1}{k}$ 为半径，$C$ 为圆心所作的圆周称为曲线 $y=f(x)$ 在点 $M$ 处的曲率圆，其半径称为曲线在点 $M$ 处的曲率半径。

2. 多元函数极值和最值

考虑图形在空间里延伸的情况。

2.1. 无条件极值

多元函数极值定义：若存在 $M_0(x_0,y_0)$ 点的某邻域 $U_\delta (M_0)$ ，使得 $f(x,y) \leq f(x_0, y_0)$ ，$\forall (x,y) \in U_\delta (M_0)$ ，则称 $f(x,y)$ 在点 $M_0(x_0,y_0)$ 取得极大值。极大值和极小值统称为极值，点 $M_0(x_0,Y_0)$ 称为 $f(x,y)$ 的极值点。

多元函数驻点定义：凡能使得 $f’_x(x,y)=f’_y(x,y)=0$ 的点 $(x,y)$ 称为函数 $f(x,y)$ 的驻点。

多元函数取得极值的必要条件：具有一阶偏导数的函数的极值点一定是驻点（极值点未必是驻点）。

二元函数取得极值的充分条件：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 $f’_x(x,y)=f’_y(x,y)=0$ ，令 $f’’_{xx}(x_0,y_0)=A,f’’_{xy}(x_0,y_0)=B,f’’_{yy}(x_0,y_0)=C$ ，则

• $AC-B^2>0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取得极值，且当 A > 0 时取得极小值，当 A < 0 时取得极大值
• $AC-B^2<0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 无极值
• $AC-B^2=0$ 时，$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 不确定是否有极值

2.2. 条件极值

函数 $f(x,y)$ 在条件 $\varphi (x,y)=0$ 下的极值必要条件：用拉格朗日乘数法

2.3. 最值

连续函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上的最值，三步走：

• 求出函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 内可能取得的极值点（驻点和一阶偏导数不存在的点）的函数值
• 求出函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界上的最值
• 比较以上求得的函数值的大小

一些应用题可判断最值是所求的极值

3. ChangeLog

2018.09.09 初稿