重积分

1. 二重积分

1.1. 定义

设 $z=f(x,y)$ 是平面上有界闭区域 $D$ 上的有界函数 $$\iint \limits_D f(x,y)\mathrm{d} \sigma \triangleq \lim _{d\rightarrow0} \sum_{k=1}^n f(\xi_k, \eta_k)\triangle \sigma_k$$ 其中 $d$ 是 $n$ 个小区域直径的最大值，$\triangle \sigma_k$ 是第 $k$ 个小区域的面积，$(\xi_k, \eta_k)$ 是$\triangle \sigma_k$ 上任一点。

若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint \limits_D f(x,y)\mathrm{d} \sigma$ 总存在。

二重积分几何意义：若 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上连续非负，则二重积分在几何上的意义是，以 $z=f(x,y)$ 为顶，以沿着 $D$ 的边界的柱面围城的曲顶柱体体积。

1.2. 二重积分计算

1. 直角坐标：若 $y$ 可由 $x$ 表达，则先积分 $y$

2. 极坐标

   坐标转换公式为： $\iint \limits_{D} f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \int _\alpha ^\beta \mathrm{d}\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \mathrm{d} \rho$

   适合用极坐标的被积函数表达式有：$f(\sqrt{x^2+y^2})$ 、$f(\frac {x}{y})$

   中心在坐标轴上且边界过原点的圆域边界表达式：$\rho$ 轴上方圆面向上的半圆为 $\cos \theta$ ，$\rho$ 轴上方圆面向右的半圆为 $\sin \theta$

3. 对称性

   若积分区域关于 x 轴对称，且被积函数关于 y 的奇函数，则积分值等于0

   若积分区域关于 x 轴对称，且被积函数关于 y 的偶函数，则原积分值等于两倍的以 x 轴上半部分为积分区域的积分值

   若积分区域关于 x 和 y 变量轮换对称，则被积函数中 x 和 y 对调积分值不变

   若积分区域关于直线 $x=x_0$ ，则 $\iint \limits_D(x-x_0) d\sigma = 0$

1.3. 二重积分中值定理

设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，$S$ 为 $D$ 的面积，则 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ ，使得 $$\iint \limits_{D} f(x,y) \mathrm{d} \sigma = f(\xi, \eta)S$$ 例如：$\iint \limits_D x d\sigma = \bar{x} S$，其中 $\bar{x}$ 为积分区域 $D$ 形心的横坐标，由形心的计算公式 $\bar{x} = \frac {\iint \limits_D x d\sigma }{S}$ 得到

1.4. 柯西积分不等式

$(\int _a^b f(x)g(x)dx)^2 \leq \int _a^b f^2(x)dx \cdot \int _a^b g^2(x)dx$

2. 三重积分

2.1. 三重积分定义

设 $f(x,y,z)$ 是空间有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数 $$\iiint \limits_{\Omega} f(x,y,z)\mathrm{d} V \triangleq \lim _{\lambda \rightarrow0} \sum_{k=1}^n f(\xi_k, \eta_k,\zeta_k)\triangle v_k$$ 其中 $\lambda$ 是 $n$ 个小区域直径的最大值，$\triangle v_k$ 是第 $k$ 个小区域的面积，$(\xi_k, \eta_k,\zeta_k)$ 是 $\triangle v_k$ 上任一点。

物理意义：若 $f(x,y,z)$ 是空间体 $\Omega$ 的体密度，则积分值为空间体质量。

2.2. 三重积分计算

1. 直角坐标

   先一后二：$\Omega$ 在 $xOy$ 的投影为 $D$ ，先固定 $(x,y)$ ，写出竖线穿过的上下两个边界的表达式 $z_1(x,y)$ 和 $z_2(x,y)$，计算积分 $\iint \limits_{D} f(x,y) \mathrm{d} x\mathrm{d} y\int_{z_1f(x,y)}^{z_2f(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d} z$

   先二后一：先固定 $z$ ，获得出被界面所截平面闭区间 $D_z$ ，计算积分 $\int _a^b \mathrm{d} z \iint \limits_{D_z} f(x,y,z) \mathrm{d} x\mathrm{d}y$（最好 $D_z$ 容易计算且$f(x,y,z)$ 仅是 $z$ 的一元函数）

2. 柱坐标：$dV = rdrd\theta dz$

3. 球坐标：$\iiint \limits_{\Omega} f(x,y,z)\mathrm{d} V =\iiint \limits_{\Omega} f(r\sin \varphi \cos \theta,r\sin \varphi \sin \theta, r\cos \varphi)r^2\sin \varphi dr d\varphi d\theta$ ，$\varphi \in [0,\pi]$ ，且为与 $z$ 轴的夹角

4. 对称性

   若积分域关于 $xOy$ 平面对称，且被积函数是关于 $z$ 的奇函数，则积分值等于0

   若积分域关于 $xOy$ 平面对称，且被积函数是关于 $z$ 的偶函数，则原积分值等于两倍的以 $xOy$ 上半部分为积分区域的积分值

   若积分区域关于 x 和 y 变量轮换对称，则被积函数中 x 和 y 对调积分值不变

   若积分区域关于平面 $z=z_0$ ，则 $\iiint \limits_{\Omega}(z-z_0) dV = 0$

5. 交换积分次序：三重积分相邻的积分次序可以当做二重积分进行积分次序交换

6. 形心坐标：由形心的计算公式 $\bar{x} = \frac {\iiint \limits_{\Omega} x dV }{V}$ ，得到 $\iiint \limits_{\Omega} x dV = \bar{x} V$，其中 $\bar{x}$ 为积分区域 $\Omega$ 形心的横坐标。

3. ChangeLog

2018.09.14 从多元函数积分分离出来