数列极限

数列的项数是无穷的

1. 数列极限的定义

给定数列 $\{x_n \}$ 及常数 $a$ ，$\forall \epsilon > 0$ ，存在 $N \in N^+$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $|x_n -a|<\epsilon$ ，称 $a$ 为数列 $\{x_n \}$ 的极限，或称数列收敛域 $a$ ，记作 $\lim \limits_{n \to \infty}x_n =a$ 或 $x_n \to a (n \to \infty)$ .

2. 数列极限的性质

2.1. 唯一性

若数列 $\{x_n \}$ 的极限存在，则极限值必唯一。

2.2. 有界性

若数列 $\{x_n \}$ 收敛，则数列 $\{x_n \}$ 有界。

证：存在 $N\in N^+$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $a-\epsilon <x_n <a+\epsilon$ ，则存在 $M>0$ ，使得 $|\min\{x_1,x_2,\cdots,x_n\} +a-\epsilon|<M$ 且 $|\max\{x_1,x_2,\cdots,x_n\} +a+\epsilon|<M$ .

2.3. 保号性

若 $\lim \limits_{n \to \infty}x_n =a$ ，且 $a>0(a<0)$ ，则存在 $N\in N^+$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $x_n>0(x_n<0)$ .

推论

若 $\lim \limits_{n \to \infty}x_n =a,\lim \limits_{n \to \infty}y_n = b, a>b$ ，则 存在 $N\in N^+$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $x_n >y_n$ .

若存在 $N\in N^+$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $x_n\geq 0$ ，且 $\lim \limits_{n \to \infty}x_n =a$ ，则 $a\geq 0$ .

2.4. 夹逼定理

若数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 满足

• 存在 $N\in N^+$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $y_n \leq x_n \leq z_n$
• $\lim \limits_{n \to \infty}y_n =a,\lim \limits_{n \to \infty}z_n =a$

则 $\lim \limits_{n \to \infty}x_n =a$

2.5. 单调有界数列必收敛

数列 $\{x_n \}$ 单调不减，且有上界，则数列 $\{x_n \}$ 必有极限。

3. 子数列

设数列 $\{x_n \}$ ，存在自然数严格递增数列 $\{n_k \}$ ，即 $n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$ ，则称其为数列 $\{x_n \}$ 的子数列，记作数列 $\{x_{n_k} \}$

$\lim \limits_{n \to \infty}x_n =a$ 的充要条件是对数列 $\{x_n \}$的任意子数列 $\{x_{n_k} \}$ 都有 $\lim\limits_{n \to \infty}x_{n_k} =a$

4. 利用积分和式求数列极限

针对数列和为 n 项和或 n 项积的情形

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则 $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) = \int_0^1 f(x)dx$ .

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f(a+\frac{b-a}{n}k) = \int_a^b f(x)dx$ .

5. 常用极限

$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1$

6. ChangeLog

2018.09.01 初稿