一阶与可降阶二阶微分方程

1. 一阶微分方程

1.1. 变量可分离的微分方程

微分方程 $\frac{dy}{dx} = h(x)g(y)$ 称为变量可分离的方程，分离变量 $\frac{dy}{g(y)} = h(x)dx$ ，两边积分得到便通解。

1.2. 齐次微分方程

微分方程 $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ 中 $f(x,y)$ ，若令 $y=ux$ ，当 $x \neq 0$ 时，可化为 $f(x,y) = f(x,ux) = \varphi(u)$ ，则称为齐次微分方程。

其解法是，令 $y=ux$ ，带入得 $u+x\frac{du}{dx} = \varphi (u)$ ，分离变量得 $\frac{du}{\varphi (u) - u} = \frac{dx}{x}$

1.3. 一阶线性微分方程

微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$ 称为一阶线性微分方程，其通解为 $y = e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C]$

1.4. 伯努利方程

方程 $y'+p(x)y = q(x)y^n, (n\neq 0,1)$ 称为伯努利方程，其解法是，将原式化为 $y^{-n}\frac{dy}{dx} +p(x)y^{1-n} = q(x)$ ，令 $z = y^{1-n}$ 得一阶线性微分方程 $\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx} +p(x)z=q(x)$ 。

2. 全微分方程

若存在二元函数 $u(x,y)$ 使 $du(x,y) = P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ ，则称微分方程 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 为全微分方程，其通解为 $u(x,y)=C$

3. 可降阶二阶微分方程

3.1. y''=f(x) 型

通解为 $y=\int(\int f(x)dx)dx +C_1x +C_2$

3.2. y''=f(x,y') 型

令 $p=y',y''=\frac{dp}{dx}$ ，原方程化为 $\frac{dp}{dx} = f(x,p)$

3.3. y''=f(y,y') 型

令 $p=y',y''=\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dx} \frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$ ，原方程化为 $p\frac{dp}{dy} = f(y,p)$

4. ChangeLog

2018.08.23 初稿