微积分的物理应用

1. 场论

1.1. 方向导数

方向导数定义：设 $l$ 是 $xOy$ 平面上以 $P_0(x_0,y_0)$ 为起始点的射线，$P(x,y)$ 是 $l$ 上一点，其中 $x=x_0+t\cos \alpha ,y=y_0+t\cos \beta \quad (t\leq0)$ ，$\alpha,\beta$ 为 $l$ 与 $x,y$ 轴的夹角，若极限 $$\lim _{t\rightarrow0^+} \frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta)-f(x_0,y_0)}{t}$$ 存在，则称此极限为 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\frac {\partial f}{\partial l}|_(x_0,y_0)$

方向导数存在性与计算：若函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处可微，则函数在该店沿任意方向 $l$ 的方向导数存在，且 $$\frac {\partial f}{\partial l}|_(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f'_y(x_0,y_0)\cos \beta$$ 推广到空间 $Oxyz$ ： $$\frac {\partial f}{\partial l}|_(x_0,y_0,z_0)=\lim _{t\rightarrow0^+} \frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta,z_0+t\cos \gamma)-f(x_0,y_0,z_0)}{t}$$ 若函数 $f(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处可微，则 $$\frac {\partial f}{\partial l}|_(x_0,y_0,z_0)=f'_x(x_0,y_0,z_0)\cos \alpha +f'_y(x_0,y_0,z_0)\cos \beta+f'_z(x_0,y_0,z_0)\cos \gamma \\ =\{f'_x(x_0,y_0,z_0),f'_y(x_0,y_0,z_0),f'_z(x_0,y_0,z_0)\} \cdot \overrightarrow e$$ 其中 $\overrightarrow e=(\cos \alpha ,\cos \beta , \cos \gamma)$ ，是射线 $l$ 方向的单位向量。

1.2. 梯度

梯度的定义：设函数 $u=u(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义，点 $P(x,y)\in D$ ，若存在 $\overrightarrow A(x,y)$，使得其所指方向的方向导数最大，且等于 $|\overrightarrow A(x,y)|$ ，则称向量 $\overrightarrow A(x,y)$ 为函数 $u=u(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处的梯度，记作 $$grad \space u|_P = \overrightarrow A(x,y)$$ 梯度计算公式：设函数 $u=u(x,y)$ 在区域 $D$ 上有一阶偏导数，则 $$grad \space u|_P = \frac {\partial u}{\partial x} \overrightarrow i +\frac {\partial u}{\partial y} \overrightarrow j$$ 梯度与方向向量的关系：设 $\overrightarrow e_l$ 是 方向向量 $l$ 的单位向量，则 $$\frac {\partial u}{\partial l}|_p =grad \space u|_P \cdot \overrightarrow e$$

1.3. 通量

设有向量场 $\mathbf{A} (x,y,z) = P(x,y,z) \mathbf{i} + Q(x,y,z) \mathbf{j} +R(x,y,z) \mathbf k$ ，则称沿场中某有向曲面 $\Sigma$ 的某一侧的面积分 $\Phi = \iint_{\Sigma} \mathbf A \cdot d \mathbf S$ 为向量场穿过曲面 $\Sigma$ 这一侧的通量。由 $\mathbf{A} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} +R \mathbf k , d\mathbf S = dydz \mathbf i + dzdx \mathbf j + dzdy \mathbf k$ 得到 $$\Phi = \iint_{\Sigma} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy$$

1.4. 散度

设有向量场 $\mathbf{A} (x,y,z) = P(x,y,z) \mathbf{i} + Q(x,y,z) \mathbf{j} +R(x,y,z) \mathbf k$ ，其中 P, Q, R 有连续一阶偏导数，向量场 $\mathbf A$ 在点 $(x,y,z)$ 处的散度计算公式为

$$div \mathbf A = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$ 散度 - Wikiwand、高斯散度定理 - Wikiwand

1.5. 旋度

设有向量场 $\mathbf{A} (x,y,z) = P(x,y,z) \mathbf{i} + Q(x,y,z) \mathbf{j} +R(x,y,z) \mathbf k$ ，其中 P, Q, R 有连续一阶偏导数，向量场 $\mathbf A$ 在点 $(x,y,z)$ 处的旋度计算公式为 $$\mathbf{rotA} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$ 旋度 - Wikiwand

2. 简单物理应用

2.1. 转动惯量

对形体内的每一质点到转轴垂直距离平方的积分，若转动轴是坐标轴以外的直线，先求出垂直距离的表达式，再积分

2.2. 变力做功

设有向力场 $\mathbf{F} (x,y,z) = P(x,y,z) \mathbf{i} + Q(x,y,z) \mathbf{j} +R(x,y,z) \mathbf k$ ，则力 $\mathbf F$ 沿曲线 $\overset{\frown} {AB}$ 从 A 到 B 所做的功为 $$W = \int_{\overset{\frown} {AB}} = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy$$

3. ChangeLog

2018.08.26 初稿