二阶及高阶线性微分方程

1. 定义

设 $a_i(x)(i=1,2,\cdots ,n),f(x)$ 在某区间 $(a,b)$ 连续，则

n 阶齐次微分方程： $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = 0$

n 阶齐次微分方程通解：设 $y_i(x)(i=1,2, \cdots ,n)$ 为 n 阶齐次微分方程的 n 个线性无关的解， $C_i(i=1,2,\cdots , n)$ 为 n 个任意常数，则 n 阶齐次微分方程的通解为 $y=\sum_{i=1}^n C_i y_i(x)$

n 阶非齐次微分方程： $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = f(x), (f(x) \neq 0)$ ， $f(x)$ 称为自由项。

n 阶非齐次微分方程通解：设 $y^*(x)$ 为 n 阶非齐次微分方程的一个解， $Y(x)$ 为对应 n 阶齐次微分方程的通解，则 n 阶非齐次微分方程的通解为 $y= Y(x)+y^*(x)$

设二阶常系数线性齐次方程为 $y''+py'+qy=0$ ，其特征方程为 $r^2+pr+q=0$ ，其中 $p,q$ 为常数，则

若 $r_1,r_2$ 为不相等实根，则通解为 $y=C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
若 $r_1,r_2$ 为相等实根，则通解为 $y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
若 $r_1,r_2$ 为一对共轭复根， $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i, \beta >0$ ，则通解为 $y=e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

设 n 阶常系数线性齐次方程为 $y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_ny = 0$ ，其特征方程为 $r^n +a_1r^{n-1} +\cdots+a_{n-1}r+a_n=0$ ，则特征根与微分方程通解对应项关系（一重根对应一项）是

k 重实根 r： $(C_1+C_2x+\cdots +C_kx^{k-1}) e^{rx}$
k 重共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta i, \beta >0$ ： $e^{\alpha x}[(A_1+A_2x+\cdots +A_kx^{k-1})\cos \beta x + (B_1 + B_2x +\cdots + B_kx^{k-1}\sin \beta x)]$

方程 $y''+py'+qy=P_m(x)e^{ax}$ 的解法（ $P_m(x)$ 为 x 的 m 次已知多项式）为

求出对应齐次微分方程的通解 $Y(x)$
求出非齐次微分方程的特解：令 $y^*(x) = x^kQ_m(x)e^{ax}$ ， $Q_m(x)$ 为系数待定的 x 的 m 次多项式， k 取值根据 a 是对应齐次微分方程的 k 重特征根

方程 $y''+py'+qy=P_m(x)e^{ax}\cos bx + Q_m(x)e^{ax}\sin bx$ 的解法（ $P_m(x),Q_m(x)$ 为 x 的 m 次已知多项式）为

求出对应齐次微分方程的通解 $Y(x)$
求出非齐次微分方程的特解：令 $y^*(x) = x^k(R_m(x)e^{ax}\cos bx + S_m(x)e^{ax}\sin bx)$ ， $R_m(x),S_m(x)$ 为系数待定的 x 的 m 次多项式， k 取值根据 a+ib 是否是对应齐次微分方程的特征根（是为1）

方程 $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + a_1x \frac{dy}{dx} + a_2y = f(x)$ 称为欧拉方程

若 $x>0$ ，则令 $x=e^t$ ，原方程化为 $\frac{d^2y}{dt^2} + (a_1-1)\frac{dy}{dt} =a_2y=f(e^t)$
若 $x<0$ ，则令 $x=-e^t$

2018.08.28 初稿