一元函数微分学

1. 导数与微分

1.1. 导数定义

设 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内有定义，并设 $x_0+\Delta x \in U(x_0)$ .若 $\lim \limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处可导，并称上述极限为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数，记为 $\lim \limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)=\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$

若 $x_0+\Delta x \in U^+(x_0)$ 或 $x_0+\Delta x \in U^-(x_0)$ 可相应定义左导数和右导数。

1.2. 微分定义

设 $y=f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内有定义，并设 $x_0+\Delta x \in U(x_0)$ .若 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$ 成立，其中 A 与 $\Delta x$ 无关，则称 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处可微，并称 $A\Delta x$ 为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的微分，记为 $dy=A\Delta x$ 或 $dy=Adx$ .

一阶微分形式不变性

设 $y=f(u)$ 可微，则微分 $dy=f'(u)$ ，其中不论 $u$ 是自变量还是中间变量。

可微判别

若 $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}=0$ ，则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，否则不可微。

1.3. 连续、可导、可微与函数增量

一元函数连续与可导的关系

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，则设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处必连续。

一元函数可微和可导的关系

一元函数的可微和可导等价。

一元函数可微与增量的关系

设 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导（可微），则 $\Delta y=dy+o(\Delta x)$ ；设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某区间存在二阶导数，则 $\Delta y-dy=\frac{1}{2} f''(\xi)(\Delta x)^2$ ，其中 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+\Delta x$ 之间。

1.4. 导数与极限

若 $f'(x_0)$ 存在 ，$\lim \limits_{x \to x_0}g(x)=\lim \limits_{x \to x_0}h(x)=x_0$ ，则

• 当 $g(x) \neq x_0$ 时，$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x))-f(x_0)}{g(x)-x_0} = f'(x_0)$
• 当 $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{g(x)-x_0}{x-x_0}$ 存在时， $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x))-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\lim \limits_{x \to x_0} \frac{g(x)-x_0}{x-x_0}$
• 当 $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{g(x)-x_0}{x-x_0}$ 及 $\lim \limits_{x \to x_0} \frac{h(x)-x_0}{x-x_0}$ 均存在时，$\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(g(x))-f(h(x))}{x-x_0}=f'(x_0)\lim \limits_{x \to x_0} \frac{g(x)-h(x)}{x-x_0}$

1.5. 含绝对值函数的可导性

设 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处 连续，则函数 $f(x)=|x-x_0|g(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件是 $g(x_0)=0$

设 $f(x_0)=0$ ，$f'(x_0)$ 存在，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导的充要条件是 $f'(x_0)=0$

2. 导数计算

2.1. 基本初等函数的导数

$(log_ax)'=\frac{1}{xlna}(a>0,a \neq 1)$

$(\tan x)'=\sec ^2 x$

$(\cot x)'=-\csc ^2 x$

$(\sec x)'=\sec x \tan x$

$(\csc x)' =-\csc x \cot x$

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$

$(arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$

2.2. 变限积分求导

设 $f(t)$ 为连续函数，$\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ 均可导，则有 $(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)})'=f(\varphi_2(x))\varphi'_2(x)-f(\varphi_1(x))\varphi'_1(x)$

2.3. 高阶导数

乘积的高阶导数的莱布尼茨公式

$(uv)^{(n)} =u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots +C_n^ku^{(n-k)}v{(k)}+\cdots +uv^{(n)}$

常见初等函数高阶导数

$(\sin ax)^{(n)}=a^n\sin (\frac{n\pi}{2}+ax)$

$(\cos ax)^{(n)}=a^n\cos (\frac{n\pi}{2}+ax)$

$(ln(1+x))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

$((1+x)^a)^{(n)}=a(a-1)\cdots (a-n+1)(1+x)^{a-n}$ ， a 不为整数

3. ChangeLog

2018.09.09 初稿