差分方程

1. 定义

给定函数 $y_t=f(t)$ ，其自变量 $t$ 取值等间隔整数，则 $f(t)$ 在 $t$ 时刻的一阶差分定义为 $\Delta y_t = y_{t+1}-t_t = f(t+1)-f(t)$ ，一阶差分 $\Delta y_t$ 的差分称为 $f(t)$ 的二阶差分，记为 $\Delta^2 y_t$ ，即 $\Delta^2 y_t=\Delta y_{t+1}-\Delta y_t=y_{t+2}-2y_{t+1}+y_t$

一般的，$\Delta^k y_t=\sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^iy_{t+k-i}, k=1,2,\cdots$

2. 一阶常系数差分方程

方程 $y_{t+1}-py_t=f(t)$ ，$p$ 为非零常数

通解为 $y_t=kp^t+y^*_t$ ，$y_t^*$ 为特解

若 $f(t)=(A_0t^n+A_1t^{n-1}+\cdots + A_n)b^t$ ，则 $y_t^*=t^s(B_0t^n+B_1t^{n-1}+\cdots + B_n)b^t$ ，其中 $p=b$ 时，$s=1$ ； $p\neq b$ 时，$s=0$