傅里叶级数
1. 三角函数及其正交性
三角函数系 在区间 上正交,即该函数系中任两个不同函数积在 上的积分为0.
2. 傅里叶级数定义
为 的傅里叶系数,以此为系数的三角级数 称为函数 的傅里叶级数,记为
2.1. 狄利克雷定理(收敛性定理)
设 是以 为周期的周期函数,且在区间 上满足
- 除有限个第一类间断点外都连续
- 只有有限个极值点
则傅里叶级数在 上出处收敛,且收敛于
- ,当 为 的连续点
- ,当 为 的间断点
- ,当 的间断点
3. 周期函数傅里叶展开
3.1. 将周期为 2\pi 的函数展开为傅里叶级数
- 计算傅里叶级数 ,并写出傅里叶级数
- 利用收敛定理确定傅里叶级数在 上的收敛情况
在 [-π, π] 上展开:
可根据 的奇偶性化简。
在 [0, π] 上展开为正弦级数
在 [0, π] 上展开为余弦级数
3.2. 将周期为 2L 的函数展开为傅里叶级数
将以上公式中的 π 换成 L
4. ChangeLog
2018.08.21 初稿