傅里叶级数

1. 三角函数及其正交性

三角函数系 在区间 上正交,即该函数系中任两个不同函数积在 上的积分为0.

2. 傅里叶级数定义

的傅里叶系数,以此为系数的三角级数 称为函数 的傅里叶级数,记为

2.1. 狄利克雷定理(收敛性定理)

是以 为周期的周期函数,且在区间 上满足

  • 除有限个第一类间断点外都连续
  • 只有有限个极值点

则傅里叶级数在 上出处收敛,且收敛于

  • ,当 的连续点
  • ,当 的间断点
  • ,当 的间断点

3. 周期函数傅里叶展开

3.1. 将周期为 2\pi 的函数展开为傅里叶级数

  • 计算傅里叶级数 ,并写出傅里叶级数
  • 利用收敛定理确定傅里叶级数在 上的收敛情况

在 [-π, π] 上展开:

可根据 的奇偶性化简。

在 [0, π] 上展开为正弦级数

在 [0, π] 上展开为余弦级数

3.2. 将周期为 2L 的函数展开为傅里叶级数

将以上公式中的 π 换成 L

4. ChangeLog

2018.08.21 初稿

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