多元函数微分学

多元函数微分学研究的是，在高位空间中，图形的分布特点和变化方式。以三维中的二维图形为例，可以研究二维图形中某一点的变化方式（往哪个方向变化最快，研三个垂直方向分解出来的变化快慢如何）、图形的空间分布特点（图形在某个方向上延伸的局部极限和全局极限）。

图形并不是都是连续的、光滑的，因此图形的变化会出现特殊情况，要考虑连续、可微。图形的变化有一些内在逻辑，因此有了定理（例如，可微的充分条件、必要条件）。有时需要借助一些工具去帮助我们去看清内在关系，因此有了方法（例如，极限）。

如果图形不止一个，那还需要考虑不同图形的空间关系（例如，切线、切平面）。

二元函数的概念

设 $D$ 是平面上一个点集，若对于每个点 $P(x,y)\in D$ ，都有确定的按照一定法则与之对应的变量 $z$ ，则称 $z$ 是自变量 $x,y$ 的二元函数，记为 $z=f(x,y)$ ，其中点集 $D$ 为函数的定义域， $x,y$ 为自变量， $z$ 为因变量，数集 $\{z|z=f(x,y),(x,y)\in D\}$ 称为函数的值域。

类似可定义多元函数。

二元函数的几何意义是一章飘荡在 $xOy$ 平面上的一张曲面，不上下重叠。

1. 极限、连续、偏导及全微分

首先用极限的方法考虑图形局部一点的变化情况。

1.1. 重极限的概念

设 $P(x_0, y_0)$ 为平面 $xOy$ 上一点， $\delta >0$ ，则与 $P(x_0, y_0)$ 距离小于 $\delta$ 的所有点的集合称为 $P$ 的 $\delta$ 领域，记作 $U(P,\delta )$ .

设函数 $f(x,y)$ 的定义域为 D ，点 $P_0(x_0,y_0)\in D$ ，若 $\forall \space \epsilon >0, \exist \space \delta >0$ ， $\forall \space P(x,y)\in U(P_0,\delta ) \cap D$ 有 $|f(x,y)-A|<\epsilon$ ，则称 $A$ 为当 $P \to P_0$ 时 $f(x,y)$ 的极限，记作 $\lim _{x\rightarrow x_0 \\ y\rightarrow y_0}f(x,y)=A$

可由点 $P$ 沿不同路径趋近于 $P_0$ 时， $f(x,y)$ 趋于不同的值；或点 $P$ 趋近于 $P_0$ 时， $f(x,y)$ 不存在来证明重极限不存在
重极限的极限运算（有理运算，复合运算）和性质（保号性，夹逼性，局部有界性，极限与无穷小的关系）与一元函数完全类似

1.2. 二元函数连续

设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，点 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 上的点（边界点或内点），且 $P_0\in D$ ，若 $\lim _{x\rightarrow x_0 \\ y\rightarrow y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0)$ 则称函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 连续。

多元函数有与一元函数完全类似的性质

连续函数的四则运算和复合运算仍连续
最值定理
介值定理

1.3. 二元函数的偏导数

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若 $\lim _{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$ 存在，则称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $f’_x(x_0,y_0)$

若 $f’_x(x_0,y_0), f’_y(x_0,y_0)$ 均存在，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可导

实际上 $f’_x(x_0,y_0)$ 是一元函数 $\varphi(x)=f(x,y_0)$ 在 $x=x_0$ 处的导数，由此其几何意义为，曲面在 $y=y_0$ 位置作平行于平面 $xOz$ 的切线，切线与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha$ ，则 $f’_x(x_0,y_0)=\tan {\alpha}$

1.4. 全微分

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全增量 $\Delta z = f(x+\Delta x, y + \Delta y)-f(x,y)$ 可表示为 $\Delta z = A\Delta x + B\Delta y +o(\rho)$ ，其中 $A,B$ 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$ 存在，而仅与 $x, y$ 有关， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，而 $A\Delta x + B\Delta y$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的微分，记作 $\mathrm{d} z = A\Delta x + B\Delta y$ .

必要条件：若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在，且 $\mathrm{d} z = \frac {\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac {\partial z}{\partial y}\Delta y$
充分条件：若函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数在点 $(x,y)$ 处连续，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微。

二元函数连续、可导、可微关系：一阶偏导数连续->可微->（可导+连续）

2. 多元函数微分法

2.1. 复合函数求导法则

多元函数与一元函数的复合：若函数 $u=\varphi(t),v=\psi(t)$ 都在点 $t$ 可导，函数在 $z=f(u,v)$ 在对应的点 $(u,v)$ 具有连续一阶偏导数，则复合函数 $z=f[\varphi (t), \psi (t)]$ 在点 $t$ 可导，且 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = \frac {\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} + \frac {\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$ 多元函数与多元函数的复合：若函数 $u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$ 都在点 $(x,y)$ 可导，函数在 $z=f(u,v)$ 在对应的点 $(u,v)$ 具有连续一阶偏导数，则复合函数 $z=f[\varphi (x,y), \psi (x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 可导，且 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = \frac {\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} + \frac {\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x} ,\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} y} = \frac {\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} y} + \frac {\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} y}$

2.2. 全微分形式不变性

设函数 $z=f(x,y)$ 和 $u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$ 都具有连续一阶偏导数，则复合函数 $z=f[\varphi (x,y), \psi (x,y)]$ 可微，且 $\mathrm{d} z = \frac {\partial z}{\partial x}\mathrm{d} x + \frac {\partial z}{\partial y}\mathrm{d} y= \frac {\partial z}{\partial u}\mathrm{d} u+ \frac {\partial z}{\partial v}\mathrm{d} v$

2.3. 混合偏导数与求导次序无关问题

若函数 $z=f(x,y)$ 的两个混合偏导数 $\frac {\partial ^2z}{\partial x \partial y}$ 和 $\frac {\partial ^2z}{\partial y \partial x}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 都连续，则在 $(x_0,y_0)$ 点 $\frac {\partial ^2z}{\partial x \partial y}=\frac {\partial ^2z}{\partial y \partial x}$

2.4. 隐函数的偏导数与全微分

设函数 $F(x,y,z)$ 有连续一阶偏导数，且 $F’_z \neq 0,z=z(x,y)$ 由方程 $F(x,y,z)=0$ 所确定，则 $\frac {\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z},\frac {\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}$ 其原理是，先求 $F$ 的全微分，再把后面的条件代进去即可。

3. ChangeLog

2018.09.09 初稿

多元函数微分