向量代数

1. 向量的基本概念

1.1. 向量（矢量）

1.2. 向量的模

1.3. 向量的坐标和坐标表示

向量 $\vec{a}$ 在直角坐标系的三个坐标上的投影 $\{a_x,a_y,a_z\}$ 叫作向量 $\vec{a}$ 的坐标，记为 $\vec{a}=\{a_x,a_y,a_z\}=a_x \vec{i}+a_y \vec{j}+a_z \vec{k}$ ，此时 $|a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

零向量

单位向量

1.4. 向量的夹角

向量的方向余弦

若向量 $\vec{a}$ 为非零向量，它与 x 轴， y 轴， z 轴正向夹角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$ ，则称 $\cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma}$ 为向量 $\vec{a}$ 的方向余弦，且 $a^{\circ}=\{\cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma}\},\cos^2{\alpha},\cos^2{\beta},\cos^2{\gamma}=1​$

2. 向量的运算和性质

2.1. 向量积（或称叉积、外积）

几何表示

模：$|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\theta},\theta=<\vec{a},\vec{b}>$ ，恰好等于以 $\vec{a},\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积，两向量平行的为零

方向：$\vec{a} \times \vec{b} \bot \vec{a},\vec{a} \times \vec{b} \bot \vec{b}$ ，符合右手法则（右手大拇指、食指和中指的坐标系）

2.2. 混合积

定义

称 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 为三个矢量 $\vec{a} ,\vec{b} , \vec{c}$ 的混合积，记为 $(\vec{a} \vec{b} \vec{c})$ 。设 $\vec{a}=\{a_x,a_y,a_z\},\vec{b}=\{b_x,b_y,b_z\},\vec{c}=\{c_x,c_y,c_z\}$ ，则 $$(\vec{a} \vec{b} \vec{c})=\begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z\\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$$

运算规律

轮换对称：$(\vec{a} \vec{b} \vec{c})=(\vec{b} \vec{c} \vec{a})=(\vec{c}\vec{a} \vec{b})$

向量互换，混合积变号：$(\vec{a} \vec{b} \vec{c})=-(\vec{b}\vec{a} \vec{c})$

混合积在几何上的应用

以 $\vec{a} ,\vec{b} , \vec{c}$ 为棱的平行六面体体积：$V=|(\vec{a} \vec{b} \vec{c})|$

若 $\vec{a} ,\vec{b} , \vec{c}$ 共面，则 $(\vec{a} \vec{b} \vec{c})=0$

3. ChangeLog

2018.09.16 初稿