平面与直线

1. 平面方程

1.1. 一般式方程

一般式方程 $Ax+By+Cz+D=0,\vec{n}=\{A,B,C\}$ 为平面的法向量，其中 $A,B,C$ 不全为零。

1.2. 点法式方程

点法式方程 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ ，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上任意取定的一点，$\vec{n}=\{A,B,C\}$ 为平面的法向量，$A,B,C$ 不全为零。

1.3. 截距式方程

截距式方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ ，其中 $a,b,c$ 分别为平面在三个坐标轴上的截距，且均不为零。

2. 直线方程

2.1. 一般式方程

假设 $\{A_1,B_1,C_1\}$ 与 $\{A_2,B_2,C_2\}$ 不共线，则一般式方程 $\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$ 为两平面的交线。

2.2. 对称式方程

对称式方程 $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ ，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上的任意取定的一点，$\vec{s}={l,m,n} \neq 0$ 为直线的方向向量。

2.3. 参数式方程

参数式方程 $\begin{cases} x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt \end{cases}$ ，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上的任意取定的一点，$\vec{s}={l,m,n} \neq 0$ 为直线的方向向量。

3. 平面与直线的位置关系

3.1. 平面与平面间的位置关系

设平面 $\Pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\Pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ ，则

• 平面 $\Pi_1 // \Pi_2 \leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$ ，其中若分母为零，则理解对应的分子也为零。
• 平面 $\Pi_1 \bot \Pi_2 \leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
• 平面 $\Pi_1,\Pi_2$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos{\theta}=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}，(0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$

3.2. 直线与直线间的位置关系

设直线 $L_1:\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1},L_2:\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$ ，则

• 直线 $L_1//L_2 \leftrightarrow \frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$ ，其中若分母为零，则理解对应的分子也为零。
• 直线 $L_1 \bot L_2 \leftrightarrow l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0$
• 平面 $L_1,L_2$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos{\theta}=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}，(0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$

3.3. 平面与直线的位置关系

设平面 $\Pi:Ax+By+Cz+D=0$ ，直线 $L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ ，则

• $\Pi // L \leftrightarrow Al+Bm+Cn=0$
• $\Pi \bot L \leftrightarrow \frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$ ，其中若分母为零，则理解对应的分子也为零。
• $L,\Pi$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\sin{\theta}=\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}，(0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$

4. 距离

4.1. 点到平面的距离

点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $\Pi:Ax+By+Cz+D=0$ 的距离为 $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

4.2. 点到直线的距离

点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到直线 $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$ 的距离为 $$d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\} \times \{l,m,n\}|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$

4.3. 两不相交直线间的距离

设直线 $L_1,L_2$ 的方向向量分别为 $\vec{s_1}=\{l_1,m_1,n_1\},\vec{s_2}=\{l_2,m_2,n_2\}$ ，点 $A\in L_1,B\in L_2$ ，则 $L_1,L_2$ 间的距离 $$d=\frac{|(\vec{s_1}\vec{s_2}\overrightarrow{AB})|}{|\vec{s_1} \times\vec{s_2}|}$$

5. ChangeLog

2018.09.17 初稿